Formula Sistem Kendali

loading...

Formula Sistem Kendali

Dalam suatu analisa perancangan sistem kendali, sering dilakukan pemodelan melalui blok diagram dan beberapa bentuk formula matematis. Setiap blok diagram menunjukkan sebuah fungsi alih (untuk sistem linear) yang mewakili sifat fungsional subsistem, sehingga akan terbentuk formula dalam persamaan-persamaan matematis yang mewakili sifat-sifat sistem aslinya. Selama dalam melakukan penurunan persamaan, suatu kesalahan mulai terjadi, termasuk ketika tahap simulasi atau perhitungan numerik. Dalam perancangan algoritma dan pemrograman, kesalahan terkecil namun berada pada letak strategis dapat menyebabkan hasil akhir menyimpang dari fakta sebenarnya.

Sebuah sistem kendali dapat digambarkan dalam bentuk diagram blok berikut: 

Diagram Blok Sistem Kendali

Prinsip kerja:

Tujuan sistem adalah agar plant dengan fungsi alih (fa) G memberi output C setara dengan input R. Hal ini diperoleh dengan memberikan umpan balik B melalui komponen feedback dengan fa (H) untuk dibandingkan dengan acuan R, hasilnya akan membentuk sinyal galat (error) E sebagai masukan (sinyal penggerak) terhadap plant G. Bila nilai C < R, maka sistem akan membuat E sedemikian hingga plant G dapat menaikkan nilai C, dan sebaliknya, sehingga diperoleh C = R.

Secara matematis hubungan variabel-variabel tersebut dinyatakan dalam: 

Formula-1           

C = G.E

B = H.C

E = R.B                                    

                                                                  (berupa set persamaan)

      Apabila dilakukan substitusi nilai B dan E, akan diperoleh: 

Formula-2  

C = G.R(1+G.H)                                              (hanya satu persamaan)

Pemodelan Sistem

            Model diagram blok umumnya dibuat untuk menjelaskan hubungan fungsional antar subsistem dan urutan proses yang terjadi, sedang formula matematis dibuat untuk memperoleh gambaran hubungan kualitatif besaran yang diperhatikan, serta menghitung nilai eksak (kuantitatif, numerik) terhadap besaran tersebut. Untuk memodelkan dari sistem fisik, biasanya terlebih dahulu dibuat blok diagram, lalu diturunkan formula matematisnya, namun kadang-kadang terjadi sebaliknya.

Berikut ini contoh pemodelan dua rangkaian elektrik:

1. Sistem 1 

Rangkaian Pembagi Tegangan

Persamaan rangkaian:             i = (e_i - e_o) / R1            dan      e_o = i R2

Secara blok diagram diperlihatkan pada gambar berikut: 

Diagram Blok Rangkaian Pembagi Tegangan

2. Sistem 2

Penguat Tegangan Berumpan Balik

Jika gain penguat noninverting dan inverting adalah K₁ dan K₂, maka persamaan yang diperoleh adalah:

                        e_e = e_i + e_b          ;               e_o = K_1.e_e            ;               e_b = - K_2.e_o

            sehingga rangkaiannya dapat digambarkan dalam bentuk diagram blok berikut: 

Diagram Blok Penguat Tegangan Berumpan Balik

      Simulasi Sistem

            Pada gambar 3.1 akan disimulasikan dengan mengambil tiga kasus dengan nilai-nilai seluruhnya konstanta (mewakili sistem-sistem).

Kasus-1           G = 1,              H = 1,              R = 8

Kasus-2           G = 2,              H = 1,              R = 8

Kasus-3           G = 1,              H = 0,5,           R = 9

Simulasi akan dilakukan secara numerik (menggunakan komputer atau kalkulator biasa) dan secara manual (menggunakan pensil dan kertas).

      Simulasi Numerik

      a.         Menggunakan formula-1

Dalam mensimulasikan formula-1, komputer akan melakukan proses algoritma sesuai logika prinsip kerja sistem dengan mengikuti aliran lup (putaran) dalam diagram sistem (simulasi rekursif), sebagai berikut:

Komputer melakukan langkah perhitungan secara berulang membentuk lup sesuai arah yang ditunjukkan anak panah (gambar 3.1). Setiap lup terdiri atas 3 langkah dengan jumlah pernyataan (statemen, baris) pada formula-1, dengan arah urutan: (a) – (b) – (c) – a) – (b) – (c) – … dst. Ketiga baris tersebut akan dieksekusi satu persatu (secara bergantian). Dalam simulasi ini diambil nilai awal C(0) = 0² sehingga urutan eksekusinya:  (b) – (c) – a) – (b) – (c) – a) –… dst.

                  Sehingga akan didapat:

Hasil simulasi numerik kasus-1, dengan nilai awal C(0) = 0

k C(k) B(k) E(k) 0 1 2 3 4 0 8 0 8 0 0 8 0 8 0 8 0 8 0 8

                 

                                          dst ….. (tidak konvergen)

Hasil simulasi numerik kasus-2, dengan nilai awal C(0) = 0

	k C(k) B(k) E(k) 0 1 2 3 4 0 16 -16 48 -80 0 16 -16 48 -80 8 -8 24 -40 88

 

dst ….. (divergen)

Hasil simulasi numerik kasus-3, dengan nilai awal C(0) = 0

	k C(k) B(k) E(k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0.000 9.000 4.500 6.750 5.625 6.187 5.906 6.047 5.976 6.012 5.994 6.002 5.998 6.000 6.000 0.000 4.500 2.250 3.375 2.812 3.093 2.953 3.023 2.988 3.006 2.997 3.001 2.999 3.000 3.000 9.000 4.500 6.750 5.625 6.188 5.907 6.047 5.977 6.012 5.994 6.003 5.999 6.001 6.000 6.000

 

dst ….. (konvergen)

b.         Menggunakan formula-2

karena formula-2 hanya satu baris, maka nilai C dapat dihitung langsung dalam satu langkah (disebut one shot) dengan hasil sebagai berikut:

                  Kasus-1:          C = (1x8) / (1 + 1x1)               = 8 / 2              = 4         (konstan)

                  Kasus-2:          C = (2x8) / (1 + 2x1)               = 16 / 3            = 5 1/3   (konstan)

                  Kasus-3:          C = (1x9) / (1 + 1x0.5)            = 9 / 1.5           = 6.00    (konstan)

Simulasi Manual

a.         Menggunakan formula-1

Umumnya disimulasikan dengan bantuan pensil dan kertas, langkah-langkah perhitungan secara iterasi sudah dapat dilakukan sesuai urutan persamaan yang diberikan. Kadang dilakukan pula manipulasi aljabar (misal eliminasi) untuk menyederhanakan perhitungan. Simulasi manual tidak mempunyai prosedur yang baku seperti yang dilakukan komputer.

 b.         Menggunakan formula-2

Hasil simulasi formula-2 = hasil simulasi formula-1 (wajar, sebab formula-2 didapat dari formula-1).

loading...